En
matemáticas, y en la ciencia en general, cuando nos encontramos
estancados ante un problema, los investigadores tratan de hacerlo frente
por otros caminos diferentes.
En
el mundo que nos rodea persisten desde el inicio de los tiempos algunos
fenómenos que se escapan del deseable pleno control del ser humano. La
propagación de un incendio, la trayectoria que seguirá el agua en una
inundación (o más domésticamente, dónde se habrá generado la filtración
que ha provocado una gotera en el techo), las turbulencias aéreas o
marinas que provocan incomodidades y a veces desastres, o algo tan banal
como conocer si lloverá o hará un calor insoportable el próximo fin de
semana. Todos ellos fenómenos de distinta índole y naturaleza,
aparentemente.
Si indagamos un poco en lo que los provoca, encontraremos que tienen
algo en común: están originados por fluidos. Los fluidos desde un punto
de vista físico-químico son conjuntos de partículas unidas entre sí por
fuerzas débiles que permiten que ante una fuerza externa las posiciones
de sus moléculas varíen, fluyan (de ahí su nombre). Es el caso de los
líquidos, los gases y el plasma. Líquidos y gases se adaptan al lugar en
el que se encuentran, pero mientras los primeros son incompresibles
(por mucho que los “achuchemos”, su volumen sigue siendo el mismo), los
segundos no, aunque si se les deja, tienden a ocupar el mayor espacio
posible, se expanden. Los líquidos, además, ejercen presión sobre los
cuerpos que se sumergen en ellos y sobre las paredes del recipiente que
los contiene (presión hidrostática). La parte de la Física que estudia
los fluidos y sus aplicaciones se llama mecánica de fluidos, que se
divide en hidrostática (se ocupa de los fluidos en reposo o en
equilibrio) y la hidrodinámica (fluidos en movimiento). Llegados a este
punto, el lector se estará preguntando: ¿Y qué pintan las matemáticas en
asuntos de naturaleza tan física? ¿Me he confundido de sección o se han
confundido ellos? Un poco de paciencia, que vamos acercándonos.
En 1822, el matemático e ingeniero francés Claude-Louis Navier (con
una extensa carrera investigadora a pesar de fallecer a los 41 años)
deduce un sistema de ecuaciones que describe el comportamiento de
algunos fluidos. Veinte años después, Sir George Gabriel Stokes,
partiendo de un modelo diferente, completa la descripción de esas
ecuaciones, bautizadas como ecuaciones de Navier-Stokes en honor a
ambos. Simplificando, digamos que se obtienen aplicando los principios
de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido.
Así se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones, aunque
se suele trabajar con ellas a partir de su formulación diferencial,
como la que aparece en la imagen adjunta (que representa el caso
concreto de un fluido viscoso pero incompresible).
Estas ecuaciones determinan el comportamiento de los llamados fluidos
newtonianos. Un fluido newtoniano es aquel cuya resistencia a
deformaciones (viscosidad) puede considerarse constante en el tiempo. El
ejemplo más socorrido es el agua (viscosidad nula), aunque otros
fluidos habituales en nuestro quehacer diario, bajo condiciones normales
de presión y temperatura, se comportan como newtonianos, como el aire,
algunos aceites, etc. Fluidos no newtonianos serían los geles, el
pegamento, la miel o la sangre, por citar algunos de los más comunes.
Para los fluidos newtonianos, si representáramos gráficamente la
relación entre la fuerza ejercida (en un eje de coordenadas) y la
velocidad de deformación del fluido (en el otro eje) nos aparece una
línea recta (dicho de otro modo, esa relación es lineal), por lo que se
trata de los fluidos más sencillos de describir.
Tratemos al menos de saber qué representa cada término de las
ecuaciones: hay valores constantes (ρ la densidad, μ la viscosidad), las
velocidades de desplazamiento en cada dirección (vx, vy, vz), las
derivadas parciales de estas velocidades respecto a cada dirección y
respecto al tiempo, y sus derivadas de segundo orden, P es la presión
del fluido y g la fuerza de la gravedad. El problema es que desconocemos
una solución general para ese tipo de sistemas de ecuaciones, que los
matemáticos llamamos no lineal de segundo orden.
La turbulencia
En los años treinta del siglo pasado, el matemático francés Jean
Leray avanzó en el intento de resolución demostrando que existen
soluciones (otra cosa es encontrarlas) y son únicas, pero solo
localmente (en el entorno de un punto), definiendo conceptos que se
aproximen a la solución (soluciones débiles) y probando su existencia,
entre otras cosas. Muchos especialistas han venido trabajando en el tema
desde su propuesta. Pero el asunto es aún más complejo por culpa de una
característica adicional que presentan los fluidos: la turbulencia. No
existe a día de hoy una explicación matemática rigurosa de cómo un
fluido pasa de tener un flujo regular a uno turbulento. Ya Leonardo da
Vinci observó en su tiempo la aparición de remolinos a diferentes
escalas. Y los matemáticos han definido un concepto que cuantifica la
rotación de un fluido dándole un nombre identificativo: el rotacional.
Leray conjeturó que el fenómeno de la turbulencia podría tener que
ver con la existencia de lo que los matemáticos denominamos
singularidades de las soluciones del sistema de ecuaciones. Para
hacernos una idea de la complejidad del problema, el físico alemán
Werner Heisenberg nos dejó una reflexión que ha quedado como un icono:
“Cuando me encuentre con Dios, le haré dos preguntas: ¿Por qué la
relatividad? y ¿por qué la turbulencia? Estoy seguro de que me sabrá
contestar a la primera”.
En matemáticas, y en la ciencia en general, cuando nos encontramos
estancados ante un problema, los investigadores tratan de hacerlo frente
por otros caminos diferentes. Es como cuando un aventurero al escalar
una montaña, o tratar de profundizar a través de la espesura de la
jungla se encuentra con algo imposible de superar. Entonces busca otra
vía que le permita llegar a donde desea. Y muchas veces esos nuevos
enfoques nos permiten realizar nuevos descubrimientos. Este es el caso.
El meteorólogo Edward Lorenz se planteó en los años sesenta del siglo
pasado la siguiente cuestión: resueltas las ecuaciones de
Navier-Stokes, ¿podríamos predecir el tiempo meteorológico con mayor
precisión y a más largo plazo? ¿Cómo es posible que conociendo
exactamente las ecuaciones que rigen la circulación atmosférica y las
condiciones de partida no se llegue a predecir con un grado de
fiabilidad aceptable el tiempo que hará tres días después? Lo que hizo
para experimentar fue simplificar extraordinariamente las ecuaciones,
dando valores numéricos concretos y tratando de aproximarlas (en vez de
en modo exacto, con números decimales). Tampoco consiguió resolver el
“aparentemente sencillo” sistema. Pero encontró algo que nunca hubiera
podido imaginar.
Al tratar las ecuaciones numéricamente, con los ordenadores de aquellos años, descubrió algunos comportamientos singulares:
1.- La evolución de cada una de las componentes de la solución era
tan extraña que indicaba un comportamiento que parecía fruto del azar.
2.- Al representar gráficamente la sucesión de valores que toman las
soluciones en el transcurso del tiempo, obtuvo una trayectoria que se
enrolla sobre un curioso objeto de dos lóbulos. Dicho objeto, que atrae
toda trayectoria, no tiene volumen, pero tampoco es una simple
superficie. No era plano (aparentaba tener algo más que largo y ancho,
dos dimensiones), pero no llegaba a ser tridimensional (largo, alto y
ancho). Así apareció el primer “atractor extraño” (ver imagen; hoy se
conoce como atractor de Lorenz) y motivó el estudio de la geometría
fractal.
3.- Al querer rehacer con más detalle el cálculo de la solución para
un tiempo largo, Lorenz introdujo en el ordenador los valores que había
obtenido para un tiempo menor, observando que las soluciones no tenían
ninguna relación con las previas. Se percató de que las soluciones
dependían del número de cifras significativas consideradas en los
cálculos (el ordenador proporcionaba seis decimales, pero la impresora
sólo le daba tres). Este pequeño error crecía exageradamente lo que
ponía en evidencia la sensibilidad del sistema de Lorenz respecto de las
condiciones iniciales. Pequeñas variaciones provocaban soluciones muy
diferentes (sistema mal acondicionado lo llamamos). Traducido a su campo
de investigación, un mínimo error de observación cambiaba completamente
el tiempo que haría al cabo de una semana. Lorenz bautizó este efecto
con una imagen muy impactante y mediática, el Efecto Mariposa (El aleteo
de una mariposa en Japón puede provocar un huracán en Los Ángeles),
origen de la teoría del Caos. Esto zanjaba negativamente la posibilidad
de conocer la evolución del tiempo que va a hacer en un plazo de tiempo
largo, porque nos encontramos con un sistema impredecible. Cosas que
prueban las matemáticas.
Para finalizar, un hecho que nos confirma una vez más que los
descubrimientos realizados teóricamente, pueden tener aplicaciones
insospechadas en el futuro. En el cine, cuando se deseaba quemar una
casa, o que hubiera una inundación, literalmente se incendiaba un
edificio real o una maqueta en el primer caso, y se utilizaba una gran
piscina en el segundo. Hasta que, a Nick Foster, ingeniero de software,
se le ocurrió hacer lo que a Edward Lorenz con las ecuaciones de
Navier-Stokes: trocearlas quedándose sólo con aquellas partes que
tratadas numéricamente en el ordenador fueran capaces de captar la
esencia del movimiento del fluido que se desee representar (agua en su
caso). El ojo humano percibe una cantidad limitada de información, así
que se le puede “engañar” sin que se dé cuenta. Dejó en las ecuaciones
aquellas expresiones que transmiten la turbulencia y el chapoteo del
agua de forma realista, despreciando el resto, hasta crear una imagen
convincente. Y ganó el Oscar a los mejores efectos especiales por
HormigaZ (1999) gracias a ello. Pero no sólo eso. Desde entonces, a
partir del software que desarrolló con este procedimiento y otros que lo
han perfeccionado, ya no hace falta que un especialista se queme bajo
un chaleco ignífugo, ni haya que retocar los fotogramas o echar mano de
maquetas para poder inundar completamente ciudades como Nueva York como
se ve en la imagen de El día de mañana (2004). Permitan que me reitere:
gracias a las matemáticas. Y eso que aún no hemos encontrado la solución
general de las ecuaciones de Navier-Stokes, uno de los problemas que la
fundación Clay premia con un millón de dólares al que lo resuelva.
Aunque sinceramente creo que deberían incrementar ligeramente la
recompensa, al menos proporcionalmente al número de años que lleve sin
resolverse y a su utilidad, ¿no creen?